Representación geométrica de los Determinantes
El determinante de una matriz cuadrada es el número real que se obtiene al efectuar las operaciones:
Se usa la notación siguiente:
Por ejemplo, si entonces el determinante de M que se denota por , es:
El signo (positivo o negativo) del determinante de una matriz (2x2) tiene un significado geométrico; se explicará a través del ejemplo anterior.
Los vectores columna de son:
Se representan y en el plano cartesiano: (Ver figura)
El ángulo que forman y , medido a partir de y en sentido opuesto a las agujas del reloj, es
menor que 180° y mayor que 0° . Se puede demostrar que, por eso, el determinante de M (matriz formada por los vectores columna y ) es positivo. Así, cada vez que eso ocurra, es decir, cuando el ángulo entre los vectores columna, medido a partir del primer vector en el sentido indicado, sea menor que 180° y mayor que 0° , el determinante será positivo.
Cuando el ángulo formado por y es mayor que 180° y menor que 360°, el determinante es negativo. Por ejemplo:
(Ver figura)
Cuando el ángulo formado por y es igual a 0° ó 180° , entonces , para algún número real , es decir, y son linealmente dependientes y geométricamente, están sobre la misma recta; por ejemplo: (Ver figura)
En este caso, el ángulo que forman y es igual a cero y el determinante también es cero:
Así, en general, siempre que dos vectores del plano sean linealmente dependientes, el determinante de (2x2) la matriz que ellos forman -como vectores columna- es nulo:
Si y , es decir, , entonces
Hay otra interpretación geométrica del determinante de una matriz cuadrada (2x2):
El valor absoluto del determinante de la matriz
Es igual al área del paralelogramo que tiene como lados a los vectores y , y al vector como diagonal: (Ver figura)
En efecto, para calcular el área del paralelogramo anterior, se puede hacer lo siguiente: Se calcula el área del triángulo y se le suma al área del trapecio .
A esa área se le restan luego el área del triángulo y el área del trapecio . areas y Volumenes
Es decir: área área área area
area
Tomando en cuenta las coordenadas de los puntos se tiene:
Como los vectores y fueron escogidos de manera tal que el ángulo formado entre ellos, medido a partir de y en sentido contrario a las agujas del reloj, fuese mayor que cero y menor que 180°, resulta que el determinante es positivo y coincide con su valor absoluto. Es fácil ver que, cuando el ángulo formado por estos vectores es mayor que 180, el área del paralelogramo tiene el signo opuesto al del determinante.
La interpretación del valor absoluto del determinante como el área del paralelogramo formado por los vectores columna, también permite interpretar el hecho de que el determinante de una matriz cuyos vectores columna son linealmente dependientes sea nulo: el área del paralelogramo en cuestión, en este caso también sería nula, pues dos vectores linealmente dependientes son colineales y no generan un paralelogramo sino un segmento de recta.
El determinante de una matriz se calcula de la siguiente manera:
Se observa que cada sumando en la expresión anterior es igual al producto de 3 coeficientes. En la siguiente figura se trazarán líneas que conectan con azul los productos que llevan signo (+) y con rojo los que llevan signo (-)
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