sábado, 13 de noviembre de 2010
TIPOS DE MATRICES
tipos de matrices
Matriz fila
Una matriz fila está constituida por una sola fila.
Matriz columna
La matriz columna tiene una sola columna
Matriz rectangular
La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.
Matriz cuadrada
La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.
Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal.
La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1.
Matriz nula
En una matriz nula todos los elementos son ceros.
Matriz triangular superior
En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.
Matriz triangular inferior
En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.
Matriz diagonal
En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos.
Matriz escalar
Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.
Matriz identidad o unidad
Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.
Matriz traspuesta
Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas
(At)t = A
(A + B)t = At + Bt
(α ·A)t = α· At
(A · B)t = Bt · At
Matriz regular
Una matriz regular es una matriz cuadrada que tiene inversa.
Matriz singular
Una matriz singular no tiene matriz inversa.
Matriz idempotente
Una matriz, A, es idempotente si:
A2 = A.
Matriz involutiva
Una matriz, A, es involutiva si:
A2 = I.
Matriz simétrica
Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica:
A = At.
Matriz antisimétrica o hemisimétrica
Una matriz antisimétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica:
A = -At.
Matriz ortogonal
Una matriz es ortogonal si verifica que:
A·At = I.
MATRIZ SIMETRICA: Es una matriz cuadrada, donde los elementos alternos tienen el mismo valor.
MATRIZ ANTISIMETRICA: Matriz cuadrada que es igual a la opuesta de su transpuesta A = -At; , aij = -aji aij = aji . Necesariamente; aii = 0
MATRIZ COMPLEJA: Es toda matriz cuadrada, cuyos elementos son números complejos.
3+2i i 5i
A = −4+3i −2i 3+6i −2+i 3+6i −4i
MATRIZ CONJUGADA: Sea A una matriz rectangular o cuadrada compleja. Si se forma otra matriz tomando los complejos de cada elemento de A se obtiene la matriz conjugada de A.
A = [4 3+2j; −3–3j 4+4j]
4 3+ 2i
-3- 3i 4+ 4i Ac = conj(A)
4 3- 2i
-3+ 3i 4- 4i MATRIZ IDENTIDAD: de orden n a una matriz cuadrada en la que los elementos de la diagonal principal son todos uno y el resto son cero:
MATRIZ DIAGONAL: Una matriz cuadrada se dice que es diagonal si todos los elementos que no están en la diagonal principal son cero. La matriz identidad es un caso particular de matriz diagonal.
MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR: Una matriz cuadrada se dice que es triangular inferior si verifica que aij = 0, cuando i < j
MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR: Una matriz cuadrada se dice que es triangular superior si verifica que aij = 0, cuando i > j
MATRIZ ADJUNTA: Si se tiene una matriz cuadrada A, su matriz adjunta o adj(A) es la resultante de sustituir cada término de A por sus respectivos adjuntos. El adjunto de un término ai j de la matriz A resulta del determinante de la matriz que se obtiene de quitar a A la fila y la columna a la que pertenece el término ai j multiplicado por (−1)(i+j)
Un ejemplo sería el siguiente:
dada la matriz
su adjunto es
+[(1)-(2)] -[(−1)-(0)] +[(2)-(0)]
adj (A) = -[(−1)-(0)] +[(−2)-(0)] -[(4)-(0)] +[(1)-(0)] -[(2)-(0)] +[(−2)-(1)]
MATRIZ HERMÍTICA: Una matriz que es igual a su transpuesta conjugada; en el caso de ser de elementos reales, una matriz hermítica es sinónima de simétrica.
3 2+i −2i
A= 3+4i i 2+6i
2–6i 3 12i
MATRIZ NULA: Es aquella que todos sus elementos son 0 y se representa por 0.
0 0 0
A = 0 0 0 0 0 0
MATRIZ ORTOGONAL: Una matriz ortogonal es necesariamente cuadrada e invertible : A-1 = AT
La inversa de una matriz ortogonal es una matriz ortogonal. El producto de dos matrices ortogonales es una matriz ortogonal. El determinante de una matriz ortogonal vale +1 ó −1.
MATRIZ NILPOTENTE:Si A es una matriz cuadrada y 0 = k A para algún número natural , k se dice que A es nilpotente. Si k es tal que 0 1 . - k A y , 0 = k A se dice que A es nilpotente de orden . k A continuación mostramos una matriz nilpotente de orden 2.
MATRIZ UNIPOTENTE: Decimos que una matriz cuadrada A de orden n es unipotente si y solo si se verifica que A.A = 0n, es decir A2 = I n.
representasion geometrica de los determinantes
Representación geométrica de los Determinantes
El determinante de una matriz cuadrada es el número real que se obtiene al efectuar las operaciones:
Se usa la notación siguiente:
Por ejemplo, si entonces el determinante de M que se denota por , es:
El signo (positivo o negativo) del determinante de una matriz (2x2) tiene un significado geométrico; se explicará a través del ejemplo anterior.
Los vectores columna de son:
Se representan y en el plano cartesiano: (Ver figura)
El ángulo que forman y , medido a partir de y en sentido opuesto a las agujas del reloj, es
menor que 180° y mayor que 0° . Se puede demostrar que, por eso, el determinante de M (matriz formada por los vectores columna y ) es positivo. Así, cada vez que eso ocurra, es decir, cuando el ángulo entre los vectores columna, medido a partir del primer vector en el sentido indicado, sea menor que 180° y mayor que 0° , el determinante será positivo.
Cuando el ángulo formado por y es mayor que 180° y menor que 360°, el determinante es negativo. Por ejemplo:
(Ver figura)
Cuando el ángulo formado por y es igual a 0° ó 180° , entonces , para algún número real , es decir, y son linealmente dependientes y geométricamente, están sobre la misma recta; por ejemplo: (Ver figura)
En este caso, el ángulo que forman y es igual a cero y el determinante también es cero:
Así, en general, siempre que dos vectores del plano sean linealmente dependientes, el determinante de (2x2) la matriz que ellos forman -como vectores columna- es nulo:
Si y , es decir, , entonces
Hay otra interpretación geométrica del determinante de una matriz cuadrada (2x2):
El valor absoluto del determinante de la matriz
Es igual al área del paralelogramo que tiene como lados a los vectores y , y al vector como diagonal: (Ver figura)
En efecto, para calcular el área del paralelogramo anterior, se puede hacer lo siguiente: Se calcula el área del triángulo y se le suma al área del trapecio .
A esa área se le restan luego el área del triángulo y el área del trapecio . areas y Volumenes
Es decir: área área área area
area
Tomando en cuenta las coordenadas de los puntos se tiene:
Como los vectores y fueron escogidos de manera tal que el ángulo formado entre ellos, medido a partir de y en sentido contrario a las agujas del reloj, fuese mayor que cero y menor que 180°, resulta que el determinante es positivo y coincide con su valor absoluto. Es fácil ver que, cuando el ángulo formado por estos vectores es mayor que 180, el área del paralelogramo tiene el signo opuesto al del determinante.
La interpretación del valor absoluto del determinante como el área del paralelogramo formado por los vectores columna, también permite interpretar el hecho de que el determinante de una matriz cuyos vectores columna son linealmente dependientes sea nulo: el área del paralelogramo en cuestión, en este caso también sería nula, pues dos vectores linealmente dependientes son colineales y no generan un paralelogramo sino un segmento de recta.
El determinante de una matriz se calcula de la siguiente manera:
Se observa que cada sumando en la expresión anterior es igual al producto de 3 coeficientes. En la siguiente figura se trazarán líneas que conectan con azul los productos que llevan signo (+) y con rojo los que llevan signo (-)
El determinante de una matriz cuadrada es el número real que se obtiene al efectuar las operaciones:
Se usa la notación siguiente:
Por ejemplo, si entonces el determinante de M que se denota por , es:
El signo (positivo o negativo) del determinante de una matriz (2x2) tiene un significado geométrico; se explicará a través del ejemplo anterior.
Los vectores columna de son:
Se representan y en el plano cartesiano: (Ver figura)
El ángulo que forman y , medido a partir de y en sentido opuesto a las agujas del reloj, es
menor que 180° y mayor que 0° . Se puede demostrar que, por eso, el determinante de M (matriz formada por los vectores columna y ) es positivo. Así, cada vez que eso ocurra, es decir, cuando el ángulo entre los vectores columna, medido a partir del primer vector en el sentido indicado, sea menor que 180° y mayor que 0° , el determinante será positivo.
Cuando el ángulo formado por y es mayor que 180° y menor que 360°, el determinante es negativo. Por ejemplo:
(Ver figura)
Cuando el ángulo formado por y es igual a 0° ó 180° , entonces , para algún número real , es decir, y son linealmente dependientes y geométricamente, están sobre la misma recta; por ejemplo: (Ver figura)
En este caso, el ángulo que forman y es igual a cero y el determinante también es cero:
Así, en general, siempre que dos vectores del plano sean linealmente dependientes, el determinante de (2x2) la matriz que ellos forman -como vectores columna- es nulo:
Si y , es decir, , entonces
Hay otra interpretación geométrica del determinante de una matriz cuadrada (2x2):
El valor absoluto del determinante de la matriz
Es igual al área del paralelogramo que tiene como lados a los vectores y , y al vector como diagonal: (Ver figura)
En efecto, para calcular el área del paralelogramo anterior, se puede hacer lo siguiente: Se calcula el área del triángulo y se le suma al área del trapecio .
A esa área se le restan luego el área del triángulo y el área del trapecio . areas y Volumenes
Es decir: área área área area
area
Tomando en cuenta las coordenadas de los puntos se tiene:
Como los vectores y fueron escogidos de manera tal que el ángulo formado entre ellos, medido a partir de y en sentido contrario a las agujas del reloj, fuese mayor que cero y menor que 180°, resulta que el determinante es positivo y coincide con su valor absoluto. Es fácil ver que, cuando el ángulo formado por estos vectores es mayor que 180, el área del paralelogramo tiene el signo opuesto al del determinante.
La interpretación del valor absoluto del determinante como el área del paralelogramo formado por los vectores columna, también permite interpretar el hecho de que el determinante de una matriz cuyos vectores columna son linealmente dependientes sea nulo: el área del paralelogramo en cuestión, en este caso también sería nula, pues dos vectores linealmente dependientes son colineales y no generan un paralelogramo sino un segmento de recta.
El determinante de una matriz se calcula de la siguiente manera:
Se observa que cada sumando en la expresión anterior es igual al producto de 3 coeficientes. En la siguiente figura se trazarán líneas que conectan con azul los productos que llevan signo (+) y con rojo los que llevan signo (-)
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